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屈服和蠕变的基础——位错 MA 02139,剑桥 麻省理工学院 材料科学与工程系 David Roylance 2001 年 3 月 22 日 引言 唯象学的处理方法曾在屈服和塑性流动模块(模块 20)中略述过,这些方法对工程预 测是很有用的, 但未对引起屈服的分子机理作深入的剖析。 了解分子机理才能具备更高层次 的洞察力、并对优化材料的工艺调整作出指导。如在“弹性的原子学基础”模块(模块 2) 中所讨论的, 晶体材料中原子排列的高度有序性为解释刚度提供了很好的原子模型。 早期工 作者自然也会寻求用原子学观点来研究屈服过程。 结果发现: 这是一个比预期要深奥得多的 问题,它需要假设一种晶体缺陷——“位错”,以解释观测到的实验结果。 ,位错理论使我 们对晶体材料的屈服机理获得有价值的直觉理解; 该理论还能解释如何通过加入合金成分和 热处理来控制屈服——这是上世纪材料科学的主要成就之一。 理论屈服强度 图1 原子的能量函数和应力函数 屈服时, 各原子沿切向从一个平衡位置滑移到另一个平衡位置。 滑移所需要的力可从结 合能函数求得, 而结合能函数可用非调和曲线来表示, 它是由模块 2 中所述的原子间的引力 和斥力的共同作用而引起的。 使原子离开平衡位置所需的力是能量函数的导数, 在平衡位置 时此力为零(见图 1) 。作为简化的假设,我们用一个调和函数的表达式来近似该力函数, 并写成 1 式中,a 为原子的间距。 在间距的四分之一处, 应力达到最大值; 在间距中点的亚稳定位置, 应力降为零。 过中点之后, 应力改变符号, 即力将阻挠原子朝新平衡位置的运动。 γ = x a 以 为切应变,最大切应力 τ max 与切变模量 G 的关系为 上式表明:屈服时的切应力 τ max = G 2π ≈ G 10 ,此值在 10GPa 的量级。而 τ max 的各测量 值为 10-100MPa,因此理论值大了二到三个量级。更精确的推导能得出略小的理论屈服应 力值,但仍然比实验观察值大得多。 刃型位错、螺型位错和混合位错 对于晶体材料, 其屈服强度的实验值相对理论值明显偏低, 对该现象的解释分别由泰勒 (Taylor) 、普兰尼(Polyani)和奥罗万(Orowan)在 1934 年独立提出。他们认识到:要使 材料发生塑性变形, 并不需要整个原子面在另一个原子面上滑移 (即同时切断连接原子面的 所有键) 。要切断所有键,所需的应力将很大,如上所述在 G 10 的量级。但实际上并不需 要同时移动所有原子, 仅需每次移动少量原子, 故所需的应力要小得多。 与尺蠖 (一种昆虫) 的移动相类似, 仅某一位错线上方一个平面内的各原子要移动一个原子间距。 这就迫使原先 在那里的原子面进入中间位置,如图 2 所示。结果是,在两个正常平衡位置的正中间,多了 1 一个“额外”的原子面。该原子面的边缘在晶体中形成的线缺陷称为位错 。 图 2 刃型位错 在图 3 中看原子平面的末端, 就能察觉到: 额外的原子面使该原子面附近位错线的上方 形成压缩区;而该原子面附近位错线的下方形成拉伸区。在“软”晶体内,原子间的键比较 弱,由上述原因引起的畸变能延伸到离位错中心有相当距离的远处;与此相反,在有较强键 的“硬”晶体内,畸变限制在离位错中心较近的区域内。像铜和金那样晶体为面心立方结构 (面心立方的英文缩写为 fcc)的金属,有原子排列最密集的原子面(那些面的密勒(Miller) 指数为 (111), ) 与此对应的是: 这些原子面之间的距离比较大, 这使得平面间的键比较 “软” , 1 对晶体位错几何方面的进一步讨论,可参见S.M. Allen and E.L. Thomas, 材料结构 (The Structure of Materials), John Wiley & Sons, New York, 1999. 2 因而位错的宽度较大。而在晶体为体心立方结构(体心立方的英文缩写为 bcc)的金属如铁和 钢中,位错宽度就要小很多,离子键的陶瓷中又要小一些,在共价键的陶瓷中甚至更小。 图 3 位错运动 与该额外原子面相关的位错很容易运动,因为要切断下一个原子面的键,并在原先“额 外”的原子面上重新成键,只需要很小的位置调整。现在第三个原子面是额外的,位错将移 动一个原子间距。若材料中有位错运动,滑移的发生显然要容易得多。初看起来,用位错概 念解释晶体的塑性是再好也不过了, 因为位错处于亚稳的平衡位置, 只要用难以察觉的很小 的力,位错就会向左或右运动。若真是如此,则晶体实质上没有剪切强度。 但是,位错在运动时,还要拖曳它周围晶格中的压缩和拉伸畸变区。伴随着位错运动的 是一种摩擦拖拽,它阻碍位错运动,其阻力称为派尔斯(Peierls)力。此力取决于晶体类型 和温度等因素,对确定材料的屈服应力起着重要作用。如表 1 所示,位错宽度大的材料派尔 斯力小,因为畸变扩展到很大的范围,核心处的畸变就没那么严重了。 表 1 也表明:对位错宽度大的 fcc 材料而言,温度对派尔斯力的影响较小,这使得屈服 应力对温度的依赖性也较小。与此相反,若材料的位错场窄而强,则派尔斯力较大,屈服应 力对温度的敏感性也较大(较高的温度促进了位错运动,使屈服强度降低) 。在这些因素引 起的各种严重后果之中,值得一提的是:在低温下钢有变脆的危险趋势,当温度下降时,屈 服应力能上升到引发脆性断裂那么高的程度。 表 1 位错宽度与材料屈服强度的温度敏感性之间的关系2 材料名称 晶体类型 金属 金属 陶瓷 陶瓷 fcc bcc 离子型 共价型 位错宽度 宽 窄 窄 很窄 派尔斯应力 很小 中等 大 很大 屈服强度的温度敏感性 可忽略 强 强 强 除了如图 3 所示简单的刃型位错外,位错还有其他的几何形式。更为一般的观点是,考 虑“滑移面” acfg 上的部分原子移动了距离 b ,如图 4 所示。矢量 b 也可度量晶体位错的 大小和方向,称为柏克斯(Burgers)矢量。滑移面上滑移与未滑移原子的边界是位错线, 用虚线来表示。在位置 e 处,位错线与柏克斯矢量垂直,所以这两个量同在滑移面上。这种 方式的位错称为刃型位错,位错只限于在位错线和柏克斯矢量确定的滑移面上运动。 2 引自R.W. Hertzberg, 工程材料的变形与断裂力学(Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials) ,John Wiley & Sons, 1976. 3 图4 混合型位错 在位置 b 处, b 点从其起始位置开始,在原子面上环绕位错线的端点作圆形的移动,移 动距离为 b , 从而形成螺旋状的缺陷。 这种缺陷称为螺型位错。 该位错线与柏克斯矢量平行, 这两个量不能像对刃型位错那样确定唯一的滑移面。 因而螺型位错能穿过位错线与另一个易 滑移的原子面交截(或称为交叉滑移) ,该机制使螺型位错能绕过可能以另外的方式阻碍其 运动的障碍。刃型位错更容易被“钉扎”3,因为它们必须通过空位的扩散来“攀移” ,以越 过障碍,如图 5 所示。 当弯曲的位错线从 b 点旋转到 e 点时,位错逐渐从螺型变为刃型。在中点处,位错兼有 刃型和螺型的特征,因此称为混合型位错。 图5 通过空位扩散实现位错攀移 位错控制的屈服 单晶体的滑移择优出现在原子排列最密集的晶面上、沿原子间距最小的方向。一方面, 对于原子排列最密集的晶面,晶面的间距最大,故晶面间的结合最松散;另一方面,若滑移 沿原子间距最小的方向发生, 则应力只需使滑移原子移动最小的距离, 这两者都使滑移所需 的能量最小化。面心立方系统(fcc)中有 12 种这样的择优滑移系,用密勒指数来表示,它 们是{111}面和110方向。单晶体中有 4 个独立且不平行的(111)面,在每个面上有 3 个 独立的[110]方向。 表 2 各种材料单晶体的临界分解切应力 材料名称 晶体类型 3 择优滑移系 τ crss (MPa) “钉扎” (be pinned) :不规则排列的位错部分位于其滑移面上、部分位于非滑移面上。后者是固定的, 前者与后者相连的一端也是固定的 (称为被钉扎) 其余部分仅能绕钉扎端作旋转运动。 , 详见: 钱志屏编著. 材料的变形与断裂.上海.同济大学出版社.1989.第二十三节.——译者注 4 镍 铜 金 银 镁 氯化钠 面心立方 面心立方 面心立方 面心立方 密堆立方 立方 {111} 110 {111} 110 {111} 110 {111} 110 {1101} 001 {110} 110 5.7 0.98 0.90 0.60 0.81 0.75 当滑移面上沿滑移方向的切应力达到临界分解切应力值 τ crss 时, 滑移就发生了。 一些单 晶体材料的 τ crss 实验值如表 2 所列。应用模块 10 中的变换关系,可算出对应于任意应力状 态的分解切应力。在简单的拉伸试验中,通过观察图 6 即可写出 图6 临界的分解切应力 式中,结构因子 m 取决于滑移系的方向,而滑移系的方向又与所加的拉应力有关。于是对 于任意排列的单晶体,屈服应力具有如下形式 。 上式称为“施密特(Schmid)定律” m 为“施密特因数” , 多晶体材料的屈服应力一般比较高, 因为其中许多晶粒的滑移系取向不佳 (施密特因数 大) 。对多晶体系统,式(1) 可修改为 式中, m 是等价的施密特因数,通常它比所有单个晶粒的简单平均值略大些,对于面心立 方和体心立方系统, m ≈ 3 。 位错的应变能 5 图7 螺型位错的切应变 在位错力学中,许多计算问题用能量概念来解决要比用牛顿的力-位移方法更容易。如 图 7 所示,螺型位错的切应变是挠度 b 除以绕位错中心的圆形轨迹的周长: 式中, 为轨迹至位错中心的距离。假设材料为胡克弹性的,则单位体积相应的应变能为 现在,对位错范围内的体积求积分,即得到螺型位错的总应变能: 式中, l 是位错线 是位错中心的半径,中心内的能量可忽略(从数学角度看,中 心内的能量密度无限地增加,但其体积变得很小) 。为得到单位长度的能量,取 l = 1 ,积分 后得, 最后的近似记号应该读作 “约略估计为” 因为界限值 r 是任意选择的, , 所以 ln(r r0 ) ≈ 4π 。 由上式可得出重要结论:位错的能量随着切变模量 G 的增加而线性地增加;且与柏克斯矢 量 b 的平方成正比。对于刃型位错,其单位长度的应变能有类似的表达式,可以证明 式中,ν 是泊松比。 位错能表示该系统总能量的增加,而材料将尽可能地力图消除这种增加。例如,两个符 号相反的位错将相互吸引,因为它们的应变场将倾向于抵消和减小能量。与此相反,两个符 号相同的位错将相互排斥。这种吸引力或排斥力约略估计为 式中, r 是两个位错之间的距离。 6 位错运动和硬化 晶体材料的延展性取决于位错的活动性, 阻碍位错运动的各因素能使材料的屈服强度大 大增加。而增加塑性流动的阻力,也会提高材料的压痕硬度,因而这种强化称为硬化。合金 元素、晶界、甚至位错自身都能产生这种阻力,此类因素为材料工程专家提供了控制屈服的 途径。 对这些重要概念的透彻论述必须留给物理的冶金学科, 但其中的某些概念将在下面的 段落中作简短的介绍。 在驱动的切应力的影响下,当在其滑移面上运动的位错与另一位错交截时,将在第二个 位错中形成“割阶” ,如图 8 所示。 图 8 位错割阶 割阶处那部分位错线不再在其原来的滑移面上,它“钉扎”在某个位置。若位错的密度 大,则这些割阶将强有力地阻碍由位错运动引起的塑性流动。不可思议的是:原先正是位错 促成了塑性流动;而当位错的数量过多时,位错反而能阻碍塑性流动。 图 9 位错弧线 当运动的位错被割阶或其他障碍钉扎后,原先驱动位错的切应力 τ ,现在使障碍间的位 错线段向前弯曲成弧线,相邻线段间的夹角为 φ ,如图 9 所示。弧形的位错线多出的长度表 示位错应变能的增加,若没有切应力,则位错线将变直以减少应变能。位错线和弹性带的作 用相似, “线张力” T 要使位错线回到钉扎点间最短距离的直线路径。对于单位长度的位错 能,其单位为 N-m/m,与简单拉力的单位一样,我们可写出 图 10 位错线 所示,从两钉扎点间位错线段的受力图,得出的力平衡方程为 式中, r 为位错线)中至位错中心的距离) 。整理并消去 d θ 因子, 得 上式已将位错线的曲率以作用在其上的切应力来表示。 可见, 最大切应力就是把位错线弯成 半圆(此时 r 最小)所需的切应力,随后位错将增殖。当位错环相遇时,即在相遇点消毁, 同时在一个圆环内孕育一条新的位错线。此过程可以重复进行,新的位错也不断产生,通过 这一机制,可以增殖大量的位错,如图 11 所示。这就是“弗兰克-瑞德(Frank-Read) ”源, 在塑性变形中,这是使位错增殖的重要方式。位错数量的增加产生了越来越多的缠结,其中 割阶起着“钉扎点”的作用。 图 11 弗兰克-瑞德位错源 用式(5)也可估计位错密度对屈服强度的影响。若钉扎位错运动的障碍是“软”的, 则位错在较低的驱动应力 (对应的临界角 φ c 也较小) 下就能克服这些障碍。 但当障碍变 “硬” 、 即位错运动遇到更多的阻力时,临界角趋近于零,曲率半径变成与障碍间距 L 在同一量级。 于是,克服这些障碍所需的切应力为 当硬障碍是由割阶(其它位错的交截产生割阶)引起时,则障碍间距 L 可用位错密度来 表示。若通过单位面积的位错数为 ρ ,则沿直线运动时遇到的位错数与 之间的距离与 ρ 成正比。位错 ρ 的倒数成正比,故 τ ∝ Gb ρ 。于是屈服应力为以下两部分之和:第一 部分是无干扰位错时、移动位错所需的应力 τ 0 ,第二部分是克服障碍所需的应力,相加后 可写成 式中, A 为常数,对于许多面心立方、体心立方和多晶体金属以及某些离子型晶体,其值 在 0.3 与 0.6 之间变化。上式的实验验证由图 12 提供。 8 图 12 位错密度 ρ 对临界分解切应力的影响 (对单晶和多晶体铜) 4 因此塑性流动的作用是通过弗兰克-瑞德源和其他源形成新的位错,这使材料变得越来 越硬、即对进一步塑性流动的阻力不断增加。最终,对连续的变形过程,屈服应力变得比断 裂应力还要大, 材料将断裂而无法继续变形。 若希望材料能继续工作, 必须减少位错的数量, 比如通过加温退火。退火能使材料恢复(通过空位扩散实现位错攀移,绕过障碍)或再结晶 为无位错的新晶粒。 晶界起着阻碍位错运动的作用,因为毗邻晶粒的滑移系通常不是排成一行的,由这一机 理引起的使屈服强度增加的现象称为晶界强化。 有细密纹理的金属晶界面积大, 因此具有比 纹理粗糙的金属更高的屈服强度。 晶粒大小的影响通常用亨尔-皮脱(Hall-Petch)公式来描述 式中, σ 0 是移动位错所需的点阵摩擦应力, K Y 为常量。该关系式实质上是由经验得出的, 但若把第二项看作与某个应力 (指在不利取向的晶粒上、 激活一个可移动的新位错所需的应 力)有关,就能合理地说明该关系式。 当位错群塞积在原先变形的晶界前面时,其作用很像长度与晶粒大小 d 成比例的裂纹, 如图 13 所示:晶粒越大,塞积的位错越多,虚裂纹越长。因为在长度为 a 的尖锐裂纹前, 应力与 a 成正比5;在包含位错塞积的虚裂纹前,应力的增加也与因子 d 成正比。当该应 力超过形成新位错所需的应力时, 不利取向的晶粒由于位错运动开始变形。 当原来晶粒的尺 寸按比例减小时,该应力也按照 d 1 2 的比例关系减小,这样,金属的强化遵循的就是亨尔- 皮脱关系式。 晶粒的大小取决于金属凝固时晶核形成和生长速率之间的平衡, 而这两者又可 通过外加的冷却速率来控制。这就是材料技术专家采用“加工工艺-结构-性能”控制方法的 重要实例。 4 5 引自T.H. Courtney, 材料的力学行为(Mechanics Behavior of Materials),McGraw-Hill, 1990. 参见模块 16。 9 图 13 晶界上的位错塞积 一个相关的现象可以解释为什么钢琴丝有很高的强度(≈4GPa,或 600kpsi) 。钢琴丝 是共析钢(珠光体) ,它在拉延时要通过一系列使直径变小的模具,最终得到很小的直径。 再在共析温度下冷却钢丝,就可得到“珠光体”结构,这种结构是在晶体为体心立方结构的 铁( “铁素体” )中加入 Fe 3 C ( “渗碳体” )的两相混合物。在拉延过程中,随着直径的缩小, 铁素体晶胞也随之缩小,形成与纹理细密的金属相似的结构。晶界限制了位错运动,从而使 材料达到很高的屈服强度。 固溶体中的杂质原子也能通过阻碍位错运动来硬化晶体材料, 这称为溶体强化。 一个比 主质点阵中的原子还要小的杂质原子, 将在其自身的周围形成近似于球形的拉力场, 该拉力 场将吸引移动位错周围的压缩区; 而另一个较大的杂质原子将会捕获位错周围的拉伸区。 从 平均的意义来说,位错群会与杂质周围不均匀的应变场相结合、以减少自身的应变能。这种 结合阻碍了位错运动、制约了塑性流动、使屈服应力增大。 图 14 马氏体的体心立方结构 对于商品材料, 固溶体的硬化通常不是一种特别有效的强化机制, 主要是因为杂质原子 的溶解度不足以产生数量可观的障碍。一个重要的例外的是铁-碳或钢系统。若含大约 0.8% 共析碳成分的钢,从高于共析温度 723°C 时迅速冷却,则铁的点阵能够捕获碳原子,而且 铁点阵中碳原子的密度,要比正常情况下、晶体为体心立方结构的铁中、碳达到溶解平衡时 的密度大得多(为加强捕获碳原子的倾向,可加入对碳有亲合力的、能减小其扩散能力的合 金元素,如铬和钼) 。为了容纳这些亚稳态的杂质原子,铁的点阵转变成称为马氏体的体心 立方结构(参见图 14) ,并在碳原子的周围形成非球形的强应变场。这种体心立方的畸变极 10 为有效地阻碍了位错运动,使马氏体成为极“硬”的相。在进行金属加工时,锻工定期用水 淬火(也许他们不知其所以然) ,通过生成马氏体的夹杂物来调整材料的硬度。 马氏体是如此的硬而脆,以至于快速淬火后的钢通常必须回火,即加热至 400°C 左右, 并保温约 1 小时。回火使碳扩散、使渗碳体的夹杂物分散、也使存在于马氏体内的位错得以 恢复。 经这样处理的材料要比刚成形时的马氏体钢坚韧得多, 但由于碳化物夹杂物的强化作 用,仍然保持很高的强度。 晶体材料的蠕变动力学 即使应力保持不变,许多材料仍将持续变形, “蠕变”就是用来描述这一倾向的术语。 粘弹性聚合物的蠕变已在模块 19 中讨论过。但在多晶体金属和陶瓷系统中也会发生蠕变, 当温度约高于绝对熔化温度的一半时的蠕变尤为重要。 这种高温蠕变可以在应力小于屈服应 力的情况下发生, 但仍与本模块讨论的位错控制的屈服有关, 因为位错运动常常也是这类蠕 变过程的基础。 在诸如喷气发动机或核反应堆这样的应用场合, 高温蠕变十分重要。 这种蠕变形式通常 由三个不同的阶段组成,如图 15 所示:一期蠕变,在该阶段材料开始硬化,所以蠕变速率 随时间而减小;二期或稳态蠕变,在该阶段硬化和软化机制互相平衡,得到一个恒定的蠕变 速率 ;三期蠕变,在该阶段材料软化,直至蠕变断裂。整个蠕变曲线反映了硬化机理(如 位错塞积)与恢复机理(如位错攀移和交截,它们都增加了位错的活动性)之间的抗衡。 图 15 蠕变的三个阶段 在大多数的应用场合, 材料失效前的大部分时间都是在第二阶段, 因此建模的努力主要 是针对这个阶段的。二期蠕变的速率 通常可用一般的非线性表达式来描述,如下式所示 式中, A 和 m 是可调节的常数、 Ec 是蠕变的表面活化能、 σ 为应力、 R 为气体常数(若 上式称为威特曼-多恩 (Weertman不用摩尔制, 则用玻尔兹曼常数来代替) T 为绝对温度。 、 Dorn)方程。 塑性流动的速率与位错移动的速度直接相关, 要显示位错移动的速度, 可考虑材料的某 一部分:其高为 h 、宽为 L ,如图 16 所示。单个位错沿宽度方向移动全长 L 时,产生的横 向变形为 δ i = b 。如果位错在晶体上只移动了宽度的 xi L 部分,则变形也按同样的比例减 小: δ i = b ( xi L) 。于是晶体的总变形为每个位错对变形的贡献之和: 11 切应变为横向变形与切应变分布的高度之比: Σ i xi 之值可用量 N x 来代替,其中 N 为晶体片段中的位错数、 x 为位错移动的平均距离。 于是上式可写成 式中, ρ = N Lh 为晶体中的位错密度。于是通过求导可得到切应变速率 : 式中, 是位错的平均速度。因此蠕变速率与位错速度成正比。 图 16 位错运动和蠕变速率 为了研究位错速度对温度和应力的依赖关系, 我们把位错克服障碍的移动速度, 看作热 活性的、并借助应力的速率过程的另一个例子,于是可写出蠕变速率的艾林(Eyring)方程6: 式中, V 是表面激活体积。上式右边的第二项表明:对于沿着应力方向的运动,应力使激 活能垒增大;对于与应力反向的运动,应力使激活能垒减小。当我们讨论屈服问题时,应力 已足够大,故与流动反向的位错运动可以忽略不计。但此处我们感兴趣的是:在较小的应力 和高温下发生的蠕变,所以必须考虑反向流动。对上式进行因式分解得, 因为 σV RT ,在级数展开式 e = 1 + x + ( x 2!) + ( x 3!) + …中,我们可以忽略二次 x 2 3 项和更高次的项,得到 与温度对指数项本身的强烈影响相比, 我们可忽略温度对指数项前因子的影响, 于是该模型 6 参见模块 20 式(4)——译者注 12 预测的蠕变速率与威特曼-多恩方程中取 m = 1 的情况相一致。 虽然以上推导的特定方程中包含的近似条件仅在较高温度下才能满足, 但是从绝对零度 到熔点的整个温度范围内, 都会发生由位错滑移而引起的蠕变。 驱动位错滑移所需的应力在 理论剪切强度 G 10 的十分之一的量级。应力较小时,蠕变速率也较慢,而且受到位错攀移 (通过空位扩散越过障碍)速率的限制。图 17 给我们的提示是:蠕变活化能与自身扩散的 活化能有相似之处(注意:这些数值也与模块 2 所述的结合能函数表明的牢固度有关,即扩 散在键结合更牢固的点阵中受阻) 。空位扩散是另一种借助应力且热激活的速率过程 ,可再 次得出与威特曼-多恩方程相一致的模型。 图 17 扩散活化能和蠕变活化能的关系 习题 1 用晶粒大小不同的钢试样和铝试样测得的屈服应力 σ Y 如下表所示: (a)对这两种材料,求亨尔-皮脱关系式(式(7) )中的系数 σ 0 和 kY 。 (b)若晶粒大小为 d = 30 ,求每种材料的屈服应力。 13

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